Упр.31.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\sin^2 x+\sin^2 2x+\sin^2 5x=1{,}5$$;

б) $$\cos^2 2x+\cos^2 4x+\cos^2 6x=1{,}5$$.

Подробный ответ

а) $$\sin^2 x+\sin^2 2x+\sin^2 3x=1{,}5.$$

Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}.$$ Тогда

$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1{,}5.$$

Умножим на $$2$$:

$$3-\cos 2x-\cos 4x-\cos 6x=3,$$

откуда

$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0.$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x.$$

Тогда

$$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0,$$

$$\cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0,$$
$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos 2x+1=0,$$
$$\cos 2x=-\frac12,$$
$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2 2x+\cos^2 4x+\cos^2 6x=1{,}5.$$

Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}.$$ Тогда

$$\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}+\frac{1+\cos 12x}{2}=1{,}5.$$

Умножим на $$2$$:

$$3+\cos 4x+\cos 8x+\cos 12x=3,$$

откуда

$$\cos 4x+\cos 8x+\cos 12x=0.$$

Сгруппируем крайние слагаемые:

$$\cos 4x+\cos 12x=2\cos 8x\cos 4x.$$

Тогда

$$2\cos 8x\cos 4x+\cos 8x=0,$$

$$\cos 8x\,(2\cos 4x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 8x=0,$$
$$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos 4x+1=0,$$
$$\cos 4x=-\frac12,$$
$$4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$