Упр.31.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{\sin 7x-\sin 5x}=\sqrt{\sin x}$$; б) $$\sqrt{\cos 5x+\cos x-\sin 5x}=\sqrt{\sin x}$$.

а) $$\sqrt{\sin 7x-\sin 5x}=\sqrt{\sin x}$$

Так как корни равны, то

$$\sin 7x-\sin 5x=\sin x,$$

причём $$\sin x\ge 0.$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\frac{7x+5x}{2}\sin\frac{7x-5x}{2}=\sin x,$$

то есть

$$2\sin x\cos 6x=\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin x\,(2\cos 6x-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
2. $$2\cos 6x-1=0 \Rightarrow \cos 6x=\frac12.$$

Тогда

$$6x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}.$$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ получаем:

$$x=\pi n,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\pi n,\quad x=(-1)^n\frac{5\pi}{18}+\pi n,\quad x=(-1)^n\frac{7\pi}{18}+\pi n.$$

б) $$\sqrt{\cos 5x+\cos x-\sin 5x}=\sqrt{\sin x}$$

Тогда

$$\cos 5x+\cos x-\sin 5x=\sin x,$$

причём $$\sin x\ge 0.$$

Перенесём слагаемые:

$$\cos 5x+\cos x=\sin 5x+\sin x.$$

Применим формулы приведения к произведению:

$$2\cos 3x\cos 2x=2\sin 3x\cos 2x,$$

$$2\cos 2x(\cos 3x-\sin 3x)=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};$$
2. $$\cos 3x-\sin 3x=0 \Rightarrow \sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

значит

$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ получаем:

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{5\pi}{18}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{7\pi}{18}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\; x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$