Упр.31.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}+\sin^4 4x$$.

Преобразуем левую часть:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2+\sin^4 4x.$$

Заметим, что

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$

значит

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt2.$$

С другой стороны,

$$\sin^4 4x\ge 0,$$

поэтому

$$\sqrt2+\sin^4 4x\ge \sqrt2.$$

Равенство возможно только тогда, когда обе части равны $$\sqrt2$$. Получаем систему:

$$\begin{cases} \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2,\\ \sqrt2+\sin^4 4x=\sqrt2. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

откуда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим второе уравнение:

$$\sin^4 4x=0 \;\Longrightarrow\; \sin 4x=0,$$

а при $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ имеем

$$4x=\pi+8\pi n,$$

и действительно $$\sin 4x=0.$$

Следовательно, все найденные значения подходят.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$