Упр.31.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sin x\cos x+6\cos x+6=6\sin x$$;
2. $$5\sin 2x-11\cos x=11\sin x-7$$.

а) $$\sin x\cos x+6\cos x+6=6\sin x$$

Умножим уравнение на $$2$$:

$$2\sin x\cos x+12\cos x+12=12\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$12(\cos x-\sin x)+11=-(1-2\sin x\cos x).$$

Так как $$1-2\sin x\cos x=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x=(\cos x-\sin x)^2,$$ получаем

$$12(\cos x-\sin x)+11=-(\cos x-\sin x)^2.$$

Пусть $$y=\cos x-\sin x$$. Тогда

$$y^2+12y+11=0.$$

$$D=12^2-4\cdot 11=100,$$

$$y_{1,2}=\frac{-12\pm 10}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=-11,\qquad y_2=-1.$$

Значение $$y=-11$$ невозможно, так как $$\cos x-\sin x\in[-\sqrt2,\sqrt2].$$

Остаётся

$$\cos x-\sin x=-1,$$

то есть

$$\sin x-\cos x=1.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$5\sin 2x-11\cos x=11\sin x-7$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$10\sin x\cos x-11\cos x=11\sin x-7.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$10\sin x\cos x-11\sin x-11\cos x+7=0.$$

Сгруппируем:

$$10\sin x\cos x-11(\sin x+\cos x)+7=0.$$

Пусть $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

значит

$$2\sin x\cos x=y^2-1.$$

Подставим в уравнение:

$$5(y^2-1)-11y+7=0,$$

$$5y^2-11y+2=0.$$

$$D=11^2-4\cdot 5\cdot 2=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10}.$$

Получаем

$$y_1=2,\qquad y_2=\frac15.$$

Значение $$y=2$$ невозможно, так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2].$$

Остаётся

$$\sin x+\cos x=\frac15.$$

Представим сумму в виде одной функции:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac15,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{10}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$