Упр.31.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение $$2\sin x-3\cos x=3$$ двумя способами: а) с помощью универсальной подстановки $$u=\tg\frac{x}{2}$$; б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента $$\frac{x}{2}$$.

Подробный ответ

Решим уравнение двумя способами.

Используем формулы

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}.$$

Тогда

$$2\cdot \frac{2u}{1+u^2}-3\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=3.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$4u-3(1-u^2)=3(1+u^2),$$

$$4u-3+3u^2=3+3u^2,$$

$$4u=6,$$

$$u=\frac{3}{2}.$$

Значит,

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{3}{2},$$

откуда

$$\frac{x}{2}=\arctg \frac{3}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=2\arctg \frac{3}{2}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Преобразуем уравнение:

$$2\sin x-3\cos x=3,$$

$$4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-3\left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=3\left(\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}\right).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-3\cos^2 \frac{x}{2}+3\sin^2 \frac{x}{2}-3\sin^2 \frac{x}{2}-3\cos^2 \frac{x}{2}=0,$$

$$4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-6\cos^2 \frac{x}{2}=0.$$

Вынесем $$2\cos \frac{x}{2}$$:

$$2\cos \frac{x}{2}\left(2\sin \frac{x}{2}-3\cos \frac{x}{2}\right)=0.$$

Отсюда:

$$\cos \frac{x}{2}=0,$$ тогда $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ значит $$x=\pi+2\pi n;$$
$$2\sin \frac{x}{2}-3\cos \frac{x}{2}=0,$$ тогда $$\tg \frac{x}{2}=\frac{3}{2},$$ значит $$x=2\arctg \frac{3}{2}+2\pi n.$$

Проверка показывает, что оба семейства решений подходят.