Упр.31.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$5\sin 3x+2\sin x=0$$; б) $$7\cos 3x-3\cos x=0$$.

а) $$5\sin 3x+2\sin x=0.$$

Используем формулу $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x.$$ Тогда

$$5(3\sin x-4\sin^3 x)+2\sin x=0,$$

$$15\sin x-20\sin^3 x+2\sin x=0,$$

$$17\sin x-20\sin^3 x=0,$$

$$\sin x(17-20\sin^2 x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 17-20\sin^2 x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$17-20\sin^2 x=0 \Rightarrow \sin^2 x=\frac{17}{20}.$$

Тогда

$$\sin x=\pm \sqrt{\frac{17}{20}}.$$

Следовательно,

$$x=\pm \arcsin \sqrt{\frac{17}{20}}+2\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\pi n,\quad x=\pm \arcsin \sqrt{\frac{17}{20}}+2\pi n.$$

б) $$7\cos 3x-3\cos x=0.$$

Используем формулу $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x.$$ Тогда

$$7(4\cos^3 x-3\cos x)-3\cos x=0,$$

$$28\cos^3 x-24\cos x=0,$$

$$4\cos x(7\cos^2 x-6)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 7\cos^2 x-6=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$7\cos^2 x-6=0 \Rightarrow \cos^2 x=\frac{6}{7}.$$

Тогда

$$\cos x=\pm \sqrt{\frac{6}{7}}.$$

Следовательно,

$$x=\pm \arccos \sqrt{\frac{6}{7}}+2\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ \pm \arcsin \sqrt{\frac{17}{20}}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm \arccos \sqrt{\frac{6}{7}}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$