Упр.30.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   а) $$y=\sqrt{2}(\sin x+\cos x);$$
   б) $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x;$$
   в) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x;$$
   г) $$y=\sin x-\cos x.$$

Представим каждую функцию в виде одной синусоиды.

а) $$y=\sqrt2(\sin x+\cos x)=\sqrt2\cdot \sqrt{1^2+1^2}\sin\left(x+\arcsin\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть на $$\frac{\pi}{4}$$ влево и растянуть по оси $$Oy$$ в 2 раза.

б) $$y=\sqrt3\sin x+\cos x=\sqrt{3+1}\sin\left(x+\arcsin\frac{1}{\sqrt{3+1}}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть на $$\frac{\pi}{6}$$ влево и растянуть по оси $$Oy$$ в 2 раза.

в) $$y=\sin x-\sqrt3\cos x=\sqrt{1+3}\sin\left(x-\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+3}}\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть на $$\frac{\pi}{3}$$ вправо и растянуть по оси $$Oy$$ в 2 раза.

г) $$y=\sin x-\cos x=\sqrt{1+1}\sin\left(x-\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+1}}\right)=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть на $$\frac{\pi}{4}$$ вправо и растянуть по оси $$Oy$$ в $$\sqrt2$$ раза.

Ответ: $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\quad y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right),\quad y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right),\quad y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$