Упр.30.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Существуют ли значения $$x$$, при которых выполняется равенство:

а) $$\sin 5x+\cos 5x=1{,}5$$;

б) $$3\sin 2x-4\cos 2x=\sqrt{26}$$;

в) $$\sin 7x-\sqrt{3}\cos 7x=\frac{\pi}{2}$$;

г) $$5\sin x+12\cos x=\sqrt{170}$$?

Представим левую часть каждого равенства в виде одной тригонометрической функции и сравним с возможными значениями синуса.

1. $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\sin\left(5x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\sin\left(5x+\frac{\pi}{4}\right)=1{,}5.$$

   Но

   $$\left|\sqrt{2}\sin\left(5x+\frac{\pi}{4}\right)\right|\le \sqrt{2},$$

   а $$\sqrt{2}<1{,}5.$$ Значит, равенство невозможно.

   Ответ: нет.

2. $$3\sin 2x-4\cos 2x=5\sin(2x-\varphi),$$

   где $$\cos\varphi=\frac35,\ \sin\varphi=\frac45.$$ Тогда

   $$5\sin(2x-\varphi)=\sqrt{26}.$$

   Но

   $$\left|5\sin(2x-\varphi)\right|\le 5,$$

   а $$5<\sqrt{26}.$$ Следовательно, решений нет.

   Ответ: нет.

3. $$\sin 7x-\sqrt{3}\cos 7x=2\sin\left(7x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(7x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}.$$

   Так как

   $$-2\le 2\sin\left(7x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2,$$

   а $$\frac{\pi}{2}<2,$$ то такое значение возможно.

   Ответ: да.

4. $$5\sin x+12\cos x=13\sin(x+\alpha),$$

   где $$\cos\alpha=\frac{5}{13},\ \sin\alpha=\frac{12}{13}.$$ Тогда

   $$13\sin(x+\alpha)=\sqrt{170}.$$

   Но

   $$\left|13\sin(x+\alpha)\right|\le 13,$$

   а $$13<\sqrt{170}.$$ Значит, решений нет.

   Ответ: нет.