Упр.30.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\cos x-\sin x\cos 4x=\sqrt{2}$$.

Рассмотрим уравнение $$\cos x-\sin x\cdot \cos 4x=\sqrt2.$$

Так как $$\cos 4x\ge -1,$$ то

$$-\sin x\cdot \cos 4x\le \sin x,$$

следовательно,

$$\cos x-\sin x\cdot \cos 4x\le \cos x+\sin x.$$

Преобразуем правую часть:

$$\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt2.$$

Значит, левая часть уравнения не превосходит $$\sqrt2.$$ Чтобы равенство выполнялось, нужно, чтобы одновременно были равенства:

$$\cos 4x=-1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Решим их:

$$\cos 4x=-1 \;\Rightarrow\; 4x=\pi+2\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \;\Rightarrow\; x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Общее решение, удовлетворяющее обоим условиям:

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$