Упр.30.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right);$$
   б) $$\left(\sqrt{3}\sin x-\cos x\right)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

a) Преобразуем левую часть:

$$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

Так как

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$

получаем

$$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

Поскольку $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$ обозначим

$$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$4y^2-y-5=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+80=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 9}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac{5}{4}.$$

Значение $$\frac{5}{4}$$ не подходит, так как $$|\cos t|\le 1$$. Значит,

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{6}=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Преобразуем выражение:

$$(\sqrt{3}\sin x-\cos x)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Так как

$$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1,$$

получаем

$$\left(2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1\right)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Обозначим

$$t=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$(2t-1)^2+1=4t,$$

$$4t^2-4t+1+1=4t,$$

$$4t^2-8t+2=0,$$

$$2t^2-4t+1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=16-8=8,$$

$$t=\frac{4\pm \sqrt{8}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Из них только

$$t=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

принадлежит отрезку $$[-1;1]$$. Значит,

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{3}=\pm \arccos\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{3}\pm \arccos\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$

б) $$x=-\frac{\pi}{3}\pm \arccos\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$