Упр.30.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
   а) $$y=\cos x-2\sin x-1$$;
   б) $$y=\left|5\sin x+12\cos x-17\right|$$;
   в) $$y=3\cos x+4\sin x-5$$;
   г) $$y=\left|7\sin 2x-24\cos 2x\right|+15$$.

а) $$y=\cos x-2\sin x-1.$$

Представим сумму $$\cos x-2\sin x$$ в виде одной синусоиды:

$$\cos x-2\sin x=\sqrt{5}\sin(x-t),$$

где $$\sqrt{5}\cos t=1,\quad \sqrt{5}\sin t=2.$$

Тогда

$$y=\sqrt{5}\sin(x-t)-1.$$

Так как $$-1\le \sin(x-t)\le 1,$$ то

$$-\sqrt{5}\le \sqrt{5}\sin(x-t)\le \sqrt{5},$$

$$-\sqrt{5}-1\le y\le \sqrt{5}-1.$$

б) $$y=\lvert 5\sin x+12\cos x-17\rvert.$$

Сначала упростим выражение под модулем:

$$5\sin x+12\cos x=13\sin(x+t),$$

поскольку $$\sqrt{5^2+12^2}=13.$$

Тогда

$$y=\lvert 13\sin(x+t)-17\rvert.$$

Так как $$-1\le \sin(x+t)\le 1,$$ то

$$-13\le 13\sin(x+t)\le 13,$$

$$-30\le 13\sin(x+t)-17\le -4.$$

Следовательно,

$$4\le \lvert 13\sin(x+t)-17\rvert\le 30.$$

в) $$y=3\cos \frac{x}{2}+4\sin \frac{x}{2}-5.$$

Представим тригонометрическую сумму в виде одной функции:

$$3\cos \frac{x}{2}+4\sin \frac{x}{2}=5\sin\left(\frac{x}{2}+t\right),$$

так как $$\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Тогда

$$y=5\sin\left(\frac{x}{2}+t\right)-5.$$

Поскольку $$-1\le \sin\left(\frac{x}{2}+t\right)\le 1,$$ получаем

$$-5\le 5\sin\left(\frac{x}{2}+t\right)\le 5,$$

$$-10\le y\le 0.$$

г) $$y=\lvert 7\sin 2x-24\cos 2x\rvert+15.$$

Свернём выражение под модулем:

$$7\sin 2x-24\cos 2x=25\sin(2x-t),$$

так как $$\sqrt{7^2+24^2}=25.$$

Тогда

$$y=\lvert 25\sin(2x-t)\rvert+15.$$

Поскольку $$-1\le \sin(2x-t)\le 1,$$ то

$$0\le \lvert 25\sin(2x-t)\rvert\le 25,$$

$$15\le y\le 40.$$

Ответ

а) $$-\sqrt{5}-1,\ \sqrt{5}-1$$; б) $$4,\ 30$$; в) $$-10,\ 0$$; г) $$15,\ 40$$.