Упр.3.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь, где $$p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N},\ q>1.$$ Тогда при возведении в натуральную степень получаем

$$\left(\frac{p}{q}\right)^n=\frac{p^n}{q^n}.$$

Предположим, что это число — целое. Тогда существует $$r \in \mathbb{Z}$$ такое, что

$$\frac{p^n}{q^n}=r,$$

откуда

$$p^n=rq^n.$$

Следовательно, $$q^n \mid p^n,$$ а значит, $$q \mid p,$$ что противоречит несократимости дроби $$\frac{p}{q}.$$

Значит, $$\left(\frac{p}{q}\right)^n$$ не может быть целым числом. Так как оно рационально, то является несократимой дробью.

б) Пусть $$a^n$$ — целое число. Докажем, что тогда $$a$$ либо целое, либо иррациональное.

Если бы $$a$$ было рациональным и нецелым, то его можно было бы записать в виде несократимой дроби

$$a=\frac{p}{q}, \quad q>1.$$

Тогда

$$a^n=\left(\frac{p}{q}\right)^n=\frac{p^n}{q^n}.$$

Если $$a^n \in \mathbb{Z},$$ то, как и в пункте а), получаем противоречие с несократимостью дроби $$\frac{p}{q}.$$

Следовательно, рациональное нецелое число $$a$$ не может иметь целую натуральную степень. Значит, $$a$$ либо целое, либо иррациональное.

в) Рассмотрим число $$\sqrt[3]{21}.$$ Если бы оно было рациональным, то по пункту а) его куб был бы рациональным числом, а по условию

$$\left(\sqrt[3]{21}\right)^3=21 \in \mathbb{Z}.$$

Проверим, может ли $$21$$ быть кубом целого числа. Разложим:

$$21=3 \cdot 7.$$

Число $$21$$ не является кубом целого числа, значит, $$\sqrt[3]{21}$$ не может быть целым. Тогда по пункту б) оно не может быть рациональным и, следовательно, является иррациональным.

Ответ: а) натуральная степень несократимой дроби — несократимая дробь; б) $$a$$ либо целое, либо иррациональное; в) $$\sqrt[3]{21}$$ — иррациональное число.