Упр.29.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем формулы произведения в сумму:

$$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2},$$

$$\cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}.$$

а)

$$\sin x\sin y\sin z =\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}\sin z$$

$$=\frac12\bigl(\sin z\cos(x-y)-\sin z\cos(x+y)\bigr)$$

$$=\frac12\left(\frac{\sin(z+x-y)+\sin(z-x+y)}{2} -\frac{\sin(z+x+y)+\sin(z-x-y)}{2}\right)$$

$$=\frac14\bigl(\sin(x+y-z)+\sin(x+z-y)+\sin(y+z-x)-\sin(x+y+z)\bigr).$$

б)

$$\cos x\cos y\cos z =\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}\cos z$$

$$=\frac12\bigl(\cos(x+y)\cos z+\cos(x-y)\cos z\bigr)$$

$$=\frac12\left(\frac{\cos(x+y+z)+\cos(x+y-z)}{2} +\frac{\cos(x-y+z)+\cos(x-y-z)}{2}\right)$$

$$=\frac14\bigl(\cos(x+y-z)+\cos(x+z-y)+\cos(y+z-x)+\cos(x+y+z)\bigr).$$