Упр.29.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\cos a\sin(a+b)$$; б) $$\sin(60^\circ+a)\sin(60^\circ-a)$$; в) $$\sin р\cos(a+b)$$; г) $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$$.

Используем формулы произведения тригонометрических функций:

$$\sin x \cos y=\frac{1}{2}\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr),$$

$$\sin x \sin y=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr),$$

$$\cos x \cos y=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr).$$

1. $$\cos a\cdot \sin(a+\beta)=\sin(a+\beta)\cos a$$

   $$=\frac{1}{2}\Bigl(\sin\bigl((a+\beta)+a\bigr)+\sin\bigl((a+\beta)-a\bigr)\Bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\sin(2a+\beta)+\sin\beta\bigr).$$

2. $$\sin(60^\circ+a)\sin(60^\circ-a)$$

   $$=\frac{1}{2}\Bigl(\cos\bigl((60^\circ+a)-(60^\circ-a)\bigr)-\cos\bigl((60^\circ+a)+(60^\circ-a)\bigr)\Bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\cos 2a-\cos 120^\circ\bigr).$$

3. $$\sin\beta\cdot \cos(a+\beta)$$

   $$=\frac{1}{2}\Bigl(\sin\bigl(\beta+(a+\beta)\bigr)+\sin\bigl(\beta-(a+\beta)\bigr)\Bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+2\beta)-\sin a\bigr).$$

4. $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$=\frac{1}{2}\Bigl(\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)+\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)\Bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos 2a.$$

Ответ:

а) $$\frac{1}{2}\bigl(\sin(2a+\beta)+\sin\beta\bigr);$$
б) $$\frac{1}{2}\bigl(\cos 2a-\cos 120^\circ\bigr);$$
в) $$\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+2\beta)-\sin a\bigr);$$
г) $$\frac{1}{2}\cos 2a.$$