Упр.29.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=2\left|\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right|$$; б) $$y=-3\left|\cos\left(\frac{3x+\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{3x-\pi}{6}\right)\right|$$.

а) Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr).$$

Тогда

$$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right) =\frac{1}{2}\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin\frac{\pi}{6}\right).$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},$$ получаем

$$y=\frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{1}{4}.$$

Поскольку $$-1\le \sin t\le 1,$$ то

$$-\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}\sin t\le \frac{1}{2},$$

следовательно,

$$-\frac{1}{4}\le \frac{1}{2}\sin t+\frac{1}{4}\le \frac{3}{4}.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-\frac{1}{4},$$ а наибольшее — $$\frac{3}{4}.$$

б) Используем формулу произведения синусов:

$$\sin \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr).$$

Тогда

$$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) =\frac{1}{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3}-\cos 2x\right).$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2},$$ получаем

$$y=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos 2x.$$

Поскольку $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$-\frac{1}{2}\le -\frac{1}{2}\cos 2x\le \frac{1}{2},$$

следовательно,

$$-\frac{3}{4}\le -\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos 2x\le \frac{1}{4}.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-\frac{3}{4},$$ а наибольшее — $$\frac{1}{4}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-\frac{1}{4},\quad y_{\max}=\frac{3}{4};$$ б) $$y_{\min}=-\frac{3}{4},\quad y_{\max}=\frac{1}{4}.$$