Упр.29.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right)$$; б) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$.

Используем формулы произведения в сумму.

а)

$$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right)$$
$$y=\frac12\left[\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin\frac{\pi}{6}\right]$$
$$y=\frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac14$$

Так как $$-1\le \sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\le 1,$$ то

$$-\frac12+\frac14\le y\le \frac12+\frac14$$
$$-\frac14\le y\le \frac34$$

Наименьшее значение функции равно $$-\frac14,$$ наибольшее — $$\frac34.$$

б)

$$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$
$$y=\frac12\left[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)-\cos 2x\right]$$
$$y=\frac12\left[-\frac12-\cos 2x\right]$$
$$y=-\frac14-\frac12\cos 2x$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$-\frac14-\frac12\le y\le -\frac14+\frac12$$
$$-\frac34\le y\le \frac14$$

Наименьшее значение функции равно $$-\frac34,$$ наибольшее — $$\frac14.$$

Ответ: а) $$-\frac14,\ \frac34$$; б) $$-\frac34,\ \frac14$$.