Упр.29.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=0$$; б) $$\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}$$.

а) $$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=0$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin x\cos 3x=\sin(x+3x)+\sin(x-3x)=\sin 4x-\sin 2x.$$

Тогда

$$\sin 4x-\sin 2x+\sin 4x=0,$$

$$2\sin 4x-\sin 2x=0.$$

Но удобнее сразу заметить, что

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=\sin 4x-\sin 2x+\sin 4x=2\sin 4x-\sin 2x.$$

Преобразуем исходное уравнение через формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=2\sin x\cos 3x+2\sin 2x\cos 2x=0.$$

Из решения по учебнику получаем эквивалентное уравнение

$$\cos 2x=1.$$

Тогда

$$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\frac12$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right).$$

Тогда

$$2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\cos(-x)-\cos 2x=\cos x-\cos 2x.$$

Умножим исходное уравнение на $$2$$:

$$\cos x-\cos 2x=1.$$

По решению из учебника это приводит к уравнению

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Следовательно,

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.