Упр.29.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Представьте в виде суммы: а) $$\sin 23^\circ \sin 32^\circ$$; б) $$\cos \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{8}$$; в) $$\sin 14^\circ \cos 16^\circ$$; г) $$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{5}$$.

Используем формулы произведения тригонометрических функций:

$$\sin x \sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2},$$

$$\cos x \cos y=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2},$$

$$\sin x \cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}.$$

1. $$\sin 23^\circ \sin 32^\circ=\frac{\cos(23^\circ-32^\circ)-\cos(23^\circ+32^\circ)}{2}=\frac{\cos 9^\circ-\cos 55^\circ}{2}.$$

2. $$\cos \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{8}=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{8}\right)}{2}=\frac{\cos \frac{\pi}{24}+\cos \frac{5\pi}{24}}{2}.$$

3. $$\sin 14^\circ \cos 16^\circ=\frac{\sin(14^\circ+16^\circ)+\sin(14^\circ-16^\circ)}{2}=\frac{\sin 30^\circ-\sin 2^\circ}{2}.$$

4. $$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{5}=2\cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{5}\right)}{2}=\sin \frac{13\pi}{40}-\sin \frac{3\pi}{40}.$$

Ответ: $$\frac{\cos 9^\circ-\cos 55^\circ}{2};\ \frac{\cos \frac{\pi}{24}+\cos \frac{5\pi}{24}}{2};\ \frac{\sin 30^\circ-\sin 2^\circ}{2};\ \sin \frac{13\pi}{40}-\sin \frac{3\pi}{40}.$$