Упр.28.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем формулы приведения и формулы суммы в произведение.

1. $$\frac12-\cos t=\cos\frac{\pi}{3}-\cos t=-2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\cdot\sin\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}$$
   $$=2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$
2. $$\frac{\sqrt3}{2}+\sin t=\sin\frac{\pi}{3}+\sin t=2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\cdot\cos\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}$$
   $$=2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$
3. $$1+2\cos t=2\left(\frac12+\cos t\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos t\right)$$
   $$=4\cos\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\cdot\cos\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}$$
   $$=4\cos\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$
4. $$\cos t+\sin t=\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\sin t$$
   $$=2\sin\frac{\frac{\pi}{2}-t+t}{2}\cdot\cos\frac{\frac{\pi}{2}-t-t}{2}$$
   $$=2\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ:

а) $$2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$
б) $$2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$
в) $$4\cos\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$
г) $$\sqrt2\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)$$