Упр.28.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график уравнения:

а) $$\sin 2x=\sin 2y$$;

б) $$\cos 2x=\cos 2y$$.

а) $$\sin 2x=\sin 2y$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin 2y-\sin 2x=0$$

$$2\sin \frac{2y-2x}{2}\cdot \cos \frac{2y+2x}{2}=0$$

$$2\sin (y-x)\cdot \cos (y+x)=0$$

Отсюда:

$$\sin (y-x)=0 \quad \text{или} \quad \cos (y+x)=0$$

1) $$\sin (y-x)=0$$, значит

$$y-x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$y=x+\pi n$$

2) $$\cos (y+x)=0$$, значит

$$y+x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$y=-x+\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Итак, график уравнения состоит из семейства прямых:

$$y=x+\pi n \quad \text{и} \quad y=-x+\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

б) $$\cos 2x=\cos 2y$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$$\cos 2y-\cos 2x=0$$

$$-2\sin \frac{2y+2x}{2}\cdot \sin \frac{2y-2x}{2}=0$$

$$-2\sin (y+x)\cdot \sin (y-x)=0$$

Отсюда:

$$\sin (y-x)=0 \quad \text{или} \quad \sin (y+x)=0$$

1) $$\sin (y-x)=0$$, значит

$$y-x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$y=x+\pi n$$

2) $$\sin (y+x)=0$$, значит

$$y+x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$y=-x+\pi n$$

Следовательно, график уравнения задаётся семействами прямых:

$$y=x+\pi n \quad \text{и} \quad y=-x+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: а) $$y=x+\pi n$$ или $$y=-x+\frac{\pi}{2}+\pi n$$; б) $$y=x+\pi n$$ или $$y=-x+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$.