Упр.28.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   а) $$y=1{,}5\left(\cos\frac{9x+10\pi}{6}+\cos\frac{9x-10\pi}{6}\right)$$;
   б) $$y=2\left(\sin\frac{9x+2\pi}{3}+\sin\frac{9x-2\pi}{3}\right)$$.

а) Преобразуем выражение по формуле суммы косинусов:

$$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$y=1{,}5\left(\cos\frac{9x+10\pi}{6}+\cos\frac{9x-10\pi}{6}\right)$$

$$=1{,}5\cdot 2\cos\frac{(9x+10\pi)+(9x-10\pi)}{2\cdot 6}\cos\frac{(9x+10\pi)-(9x-10\pi)}{2\cdot 6}$$

$$=3\cos\frac{18x}{12}\cos\frac{20\pi}{12} =3\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{5\pi}{3}.$$

Так как $$\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12,$$ получаем

$$y=\frac32\cos\frac{3x}{2}.$$

Это график функции $$y=\cos x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в $$\frac32$$ раза и растянутый от оси $$Ox$$ в $$\frac32$$ раза.

б) Преобразуем выражение по формуле суммы синусов:

$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$y=2\left(\sin\frac{9x+2\pi}{3}+\sin\frac{9x-2\pi}{3}\right)$$

$$=2\cdot 2\sin\frac{(9x+2\pi)+(9x-2\pi)}{2\cdot 3}\cos\frac{(9x+2\pi)-(9x-2\pi)}{2\cdot 3}$$

$$=4\sin\frac{18x}{6}\cos\frac{4\pi}{6} =4\sin 3x\cos\frac{2\pi}{3}.$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем

$$y=-2\sin 3x.$$

Это график функции $$y=\sin x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в 3 раза, отражённый относительно оси $$Ox$$ и растянутый от оси $$Ox$$ в 2 раза.

Ответ

а) $$y=\frac32\cos\frac{3x}{2}$$; б) $$y=-2\sin 3x$$.