Упр.28.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sin 3x=\cos 2x$$;
б) $$\sin(5\pi-x)=\cos(2x+7\pi)$$;
в) $$\cos 5x=\sin 15x$$;
г) $$\sin(7\pi+x)=\cos(9\pi+2x)$$.
а) $$\sin 3x=\cos 2x$$
Преобразуем косинус:
$$\cos 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right).$$
Тогда
$$\sin 3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0.$$
Используем формулу разности синусов:
$$2\sin\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\cdot \cos\frac{3x+\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0,$$
то есть
$$2\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
1) $$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}.$$
2) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Но значения $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ входят в первую серию решений, поэтому можно записать общий ответ:
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\sin(5\pi-x)=\cos(2x+7\pi)$$
Упростим выражения:
$$\sin(5\pi-x)=-\sin x,\qquad \cos(2x+7\pi)=-\cos 2x.$$
Тогда
$$-\sin x=-\cos 2x,$$
$$\sin x=\cos 2x.$$
Далее:
$$\cos 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right),$$
$$\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0.$$
По формуле разности синусов:
$$2\sin\left(\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\right)\cos\left(\frac{x+\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\right)=0,$$
то есть
$$2\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{3x}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{3x}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
1) $$\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$
2) $$\frac{3x}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}.$$
Вторая серия решений входит в первую при замене параметра, поэтому
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\cos 5x=\sin 15x$$
Преобразуем синус:
$$\sin 15x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-15x\right).$$
Тогда
$$\cos 5x-\cos\left(\frac{\pi}{2}-15x\right)=0.$$
Используем формулу разности косинусов:
$$-2\sin\frac{5x+\left(\frac{\pi}{2}-15x\right)}{2}\cdot \sin\frac{5x-\left(\frac{\pi}{2}-15x\right)}{2}=0,$$
то есть
$$2\sin\left(10x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(5x+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
Отсюда:
$$\sin\left(10x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(5x+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
1) $$10x-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{40}+\frac{\pi n}{10}.$$
2) $$5x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5}.$$
Ответ:
$$x=\frac{\pi}{40}+\frac{\pi n}{10}, \quad x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$\sin(7\pi+x)=\cos(9\pi+2x)$$
Упростим тригонометрические функции:
$$\sin(7\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos(9\pi+2x)=-\cos 2x.$$
Получаем
$$-\sin x=-\cos 2x,$$
$$\sin x=\cos 2x.$$
Далее, как и в пункте б):
$$\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0,$$
$$2\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
1) $$\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$
2) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Вторая серия входит в первую, поэтому
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$ в) $$x=\frac{\pi}{40}+\frac{\pi n}{10},\ x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb{Z};$$ г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$
