Упр.28.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$; б) $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$.

a) Преобразуем левую часть, используя формулу суммы синусов:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$$

$$\sin 2x\,(2\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 2x=0,$$ тогда $$2x=\pi n,$$ значит $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$2\cos x+1=0,$$ тогда $$\cos x=-\frac12,$$ значит $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем разность косинусов:

$$\cos 3x-\cos 5x=-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}=-2\sin 4x\sin(-x).$$

Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем

$$\cos 3x-\cos 5x=2\sin 4x\sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin 4x\sin x=\sin 4x,$$

$$\sin 4x\,(2\sin x-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 4x=0,$$ тогда $$4x=\pi n,$$ значит $$x=\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$2\sin x-1=0,$$ тогда $$\sin x=\frac12,$$ значит $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{4},\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{4},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$