Упр.28.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите:
   а) если $$\cos^2 x+\cos^2 y=m$$, то $$\cos(x+y)\cos(x-y)=m-1$$;
   б) если $$\cos^2(x+y)+\sin^2 x+\sin^2 y=m$$, то $$\sin x\sin y\cos(x+y)=\frac{1-m}{2}$$.

а) Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ тогда

$$2\cos^2 x+2\cos^2 y=2m$$
$$(1+\cos 2x)+(1+\cos 2y)=2m$$
$$2+\cos 2x+\cos 2y=2m$$

По формуле суммы косинусов:

$$\cos 2x+\cos 2y=2\cos(x+y)\cos(x-y).$$

Тогда

$$2+2\cos(x+y)\cos(x-y)=2m$$
$$\cos(x+y)\cos(x-y)=m-1.$$

Что и требовалось доказать.

б) Аналогично преобразуем данное равенство:

$$2\cos^2(x+y)+2\sin^2 x+2\sin^2 y=2m$$
$$2\cos^2(x+y)+2(1-\cos^2 x)+2(1-\cos^2 y)=2m$$
$$2\cos^2(x+y)+4-2\cos^2 x-2\cos^2 y=2m.$$

Из пункта а) имеем $$\cos^2 x+\cos^2 y=m,$$ значит

$$2\cos^2(x+y)+4-2m=2m$$
$$\cos^2(x+y)=2m-2.$$

Но удобнее воспользоваться тождеством

$$\cos^2(x+y)-\cos(x+y)\cos(x-y)=m-1,$$
а также формулой

$$\cos(x+y)-\cos(x-y)=-2\sin x\sin y.$$

Тогда

$$\cos(x+y)\bigl(\cos(x+y)-\cos(x-y)\bigr)=m-1$$
$$\cos(x+y)\cdot(-2\sin x\sin y)=m-1$$
$$\sin x\sin y\cos(x+y)=\frac{1-m}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: а) $$\cos(x+y)\cos(x-y)=m-1$$; б) $$\sin x\sin y\cos(x+y)=\frac{1-m}{2}.$$