Упр.28.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 3a+\cos 7a}$$, если $$\operatorname{ctg}4a=0{,}2$$;
   б) $$\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x-\sin 4x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x-\cos 4x}$$, если $$\operatorname{tg}\frac{5x}{4}=2$$.

а) Преобразуем числитель и знаменатель по формулам суммы синусов и косинусов:

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a} = \frac{(\sin a+\sin 7a)+(\sin 3a+\sin 5a)}{(\cos a+\cos 7a)+(\cos 3a+\cos 5a)}$$
$$= \frac{2\sin 4a\cos 3a+2\sin 4a\cos a}{2\cos 4a\cos 3a+2\cos 4a\cos a} = \frac{2\sin 4a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 4a(\cos 3a+\cos a)} = \tg 4a.$$

Так как $$\ctg 4a=0{,}2,$$ то

$$\tg 4a=\frac{1}{\ctg 4a}=\frac{1}{0{,}2}=5.$$

Ответ: $$5$$.

б) Сгруппируем слагаемые:

$$\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x-\sin 4x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x-\cos 4x} = \frac{(\sin 3x-\sin 2x)-(\sin 4x-\sin x)}{(\cos 3x-\cos 2x)-(\cos 4x-\cos x)}.$$

Применим формулы разности синусов и косинусов:

$$\sin 3x-\sin 2x=2\cos \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}, \qquad \sin 4x-\sin x=2\cos \frac{5x}{2}\sin \frac{3x}{2},$$
$$\cos 3x-\cos 2x=-2\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}, \qquad \cos 4x-\cos x=-2\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{3x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{2\cos \frac{5x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-\sin \frac{3x}{2}\right)} {-2\sin \frac{5x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-\sin \frac{3x}{2}\right)} = -\ctg \frac{5x}{2}.$$

Если $$\tg \frac{5x}{4}=2,$$ то

$$-\ctg \frac{5x}{2} = -\frac{1-\tg^2 \frac{5x}{4}}{2\tg \frac{5x}{4}} = -\frac{1-2^2}{2\cdot 2} = \frac{3}{4}.$$

Ответ: $$\frac{3}{4}$$.