Упр.27.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin^2 2t=\frac{1-\cos 4t}{2}$$;

б) $$2\sin^2\frac{t}{2}+\cos t=1$$;

в) $$2\sin^2 2t=1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right)$$;

г) $$2\cos^2 t-\cos 2t=1$$.

Преобразуем левую и правую части каждого равенства, используя формулы двойного угла.

1. $$\sin^2 2t=\frac{1-\cos 4t}{2}$$

   Так как $$\cos 4t=1-2\sin^2 2t,$$ то

   $$\frac{1-\cos 4t}{2}=\frac{1-(1-2\sin^2 2t)}{2}=\frac{2\sin^2 2t}{2}=\sin^2 2t.$$

   Тождество доказано.

2. $$2\sin^2 \frac{t}{2}+\cos t=1$$

   Используем формулу $$\cos t=1-2\sin^2 \frac{t}{2}.$$ Тогда

   $$2\sin^2 \frac{t}{2}+\cos t=2\sin^2 \frac{t}{2}+1-2\sin^2 \frac{t}{2}=1.$$

   Тождество доказано.

3. $$2\sin^2 2t=1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right)$$

   Так как

   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right)=-\cos 4t,$$

   то

   $$1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right)=1-\cos 4t=2\sin^2 2t.$$

   Тождество доказано.

4. $$2\cos^2 t-\cos 2t=1$$

   Используем формулу $$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t.$$ Тогда

   $$2\cos^2 t-\cos 2t=2\cos^2 t-(\cos^2 t-\sin^2 t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.$$

   Тождество доказано.