Упр.27.72 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=\frac{\sin 2x}{|\sin x|}.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то
$$y=\frac{2\sin x\cos x}{|\sin x|}=2\cos x\cdot \frac{\sin x}{|\sin x|}.$$
Значит,
$$y=\begin{cases} 2\sin x\cos x, & \text{если } x\le 0,\\ 2\sin^2\frac{x}{2}, & \text{если } x>0. \end{cases}$$
Учитывая, что $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ а $$2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x,$$ получаем
$$y=\begin{cases} \sin 2x, & \text{если } x\le 0,\\ 1-\cos x, & \text{если } x>0. \end{cases}$$
Ответ: $$y=\begin{cases} \sin 2x, & x\le 0,\\ 1-\cos x, & x>0. \end{cases}$$
б) $$y=\frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то
$$y=\frac{2\sin x\cos x}{-2|\cos x|}=-\sin x\cdot \frac{\cos x}{|\cos x|}.$$
Следовательно,
$$y=\begin{cases} (\sin x+\cos x)^2, & \text{если } x\le \frac{\pi}{4},\\ 2+\frac{\pi}{4}-x, & \text{если } x>\frac{\pi}{4}. \end{cases}$$
Причём
$$(\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x.$$
Тогда
$$y=\begin{cases} 1+\sin 2x, & \text{если } x\le \frac{\pi}{4},\\ 2+\frac{\pi}{4}-x, & \text{если } x>\frac{\pi}{4}. \end{cases}$$
Ответ: $$y=\begin{cases} 1+\sin 2x, & x\le \frac{\pi}{4},\\ 2+\frac{\pi}{4}-x, & x>\frac{\pi}{4}. \end{cases}$$
в) $$y=\frac{\sin 2x}{-|\cos x|}.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то
$$y=\frac{2\sin x\cos x}{-|\cos x|}=-2\sin x\cdot \frac{\cos x}{|\cos x|}.$$
Значит,
$$y=\begin{cases} 2\sin x\cos x, & \text{если } \cos x<0,\\ -2\sin x\cos x, & \text{если } \cos x>0. \end{cases}$$
То есть
$$y=\begin{cases} \sin 2x, & \text{если } \cos x<0,\\ -\sin 2x, & \text{если } \cos x>0. \end{cases}$$
Ответ: $$y=\begin{cases} \sin 2x, & \cos x<0,\\ -\sin 2x, & \cos x>0. \end{cases}$$
г) $$y=\frac{\sin 2x}{2|\sin x|}.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то
$$y=\frac{2\sin x\cos x}{2|\sin x|}=\cos x\cdot \frac{\sin x}{|\sin x|}.$$
Следовательно,
$$y=\begin{cases} \cos x, & \text{если } \sin x>0,\\ -\cos x, & \text{если } \sin x<0. \end{cases}$$
Ответ: $$y=\begin{cases} \cos x, & \sin x>0,\\ -\cos x, & \sin x<0. \end{cases}$$
