Упр.27.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=3-\sin x+\cos 2x$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-\sin^2 x$$:

$$y=3-\sin x+1-\sin^2 x=4-\sin x-\sin^2 x.$$

Обозначим $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=-t^2-t+4.$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Абсцисса вершины:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot(-1)}=-\frac12.$$

Проверим значения на концах отрезка и в вершине:

$$y(-1)=-(-1)^2-(-1)+4=4,$$

$$y\!\left(-\frac12\right)=-\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)+4=-\frac14+\frac12+4=\frac{17}{4},$$

$$y(1)=-1-1+4=2.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{17}{4}$$, а наименьшее — $$2$$.

б) $$y=\cos 3x+\cos 2x-4\cos^3 x$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и обозначим $$t=\cos x,\; t\in[-1;1].$$ Тогда

$$y=2t^2+4t-2.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Абсцисса вершины:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1.$$

Проверим значения на концах отрезка:

$$y(-1)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-2=-4,$$

$$y(1)=2\cdot1^2+4\cdot1-2=4.$$

Значит, наименьшее значение равно $$-4$$, а наибольшее — $$4$$.

Ответ: а) $$\frac{17}{4}$$ и $$2$$; б) $$-4$$ и $$4$$.