Упр.27.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\cos^2 2x-\sin^2 2x\leq -1$$; б) $$\sin 5x\cos 5x\geq \frac{1}{2}$$; в) $$\sin^2 3x-\cos^2 3x\leq -1$$; г) $$\sin\frac{2x}{3}\cos\frac{2x}{3}\leq -\frac{1}{2}$$.

Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ и тождество $$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha.$$

1. $$\sin 2x\cdot \cos 2x<\frac14$$

   $$\frac12\sin 4x<\frac14$$

   $$\sin 4x<\frac12.$$

   Решаем неравенство для синуса:

   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<4x<\frac{13\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $$4$$:

   $$\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{13\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4}>\frac12$$

   $$\cos\frac{x}{2}>\frac12.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Умножаем на $$2$$:

   $$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{13\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;$$

б) $$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$