Упр.27.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\sin x=\frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}$$;

б) $$\cos x=\frac{1-\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}$$.

Положим $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x$$
$$2\sin x\cos x+2\sin x=2-2\cos x$$
$$\sin x\cos x+\sin x+\cos x-1=0.$$

Используем тождество $$\sin x\cos x=\dfrac{(\sin x+\cos x)^2-1}{2}=\dfrac{t^2-1}{2}.$$ Тогда

$$\frac{t^2-1}{2}+t-1=0$$
$$t^2+2t-3=0$$
$$(t-1)(t+3)=0.$$

Получаем:

• $$t=1,$$ то есть $$\sin x+\cos x=1;$$
• $$t=-3,$$ но это невозможно, так как $$- \sqrt{2}\le \sin x+\cos x\le \sqrt{2}.$$

Решаем уравнение $$\sin x+\cos x=1.$$ Преобразуем левую часть:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$
или
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=2\pi n$$
или
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$