Упр.27.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$4\sin x+\sin 2x=0,\quad x\in[0;2\pi]$$;
   б) $$\cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0,\quad x\in\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$.

а) $$4\sin x+\sin 2x=0,\qquad x\in[0;2\pi].$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$4\sin x+2\sin x\cos x=0,$$

$$2\sin x(2+\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2+\cos x=0.$$

Во втором случае $$\cos x=-2,$$ что невозможно, так как $$-1\le \cos x\le 1.$$

Значит, $$\sin x=0,$$ поэтому на отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x=0,\ \pi,\ 2\pi.$$

б) $$\cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0,\qquad x\in\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right].$$

Применим формулу $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$:

$$\cos\left(2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0,$$

$$\cos\left(6x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0.$$

Так как $$\cos\left(u+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin u,$$ то

$$-\sin 6x+\frac{\sqrt3}{2}=0,$$

$$\sin 6x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$6x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{6}.$$

Подбираем значения на отрезке $$\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$. Подходит

$$x=\frac{7\pi}{9}.$$

Ответ: а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; б) $$\frac{7\pi}{9}$$.