Упр.27.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$2-\cos 2x+3\sin x=0$$;
   б) $$\cos 6x-\cos 3x-2=0$$;
   в) $$26\sin x\cos x-\cos 4x+7=0$$;
   г) $$\sin^4 x+\cos^4 x=\sin x\cos x$$.

а) $$2-\cos 2x+3\sin x=0$$

$$2-(1-2\sin^2 x)+3\sin x=0$$

$$2\sin^2 x+3\sin x+1=0$$

Пусть $$y=\sin x$$, тогда

$$2y^2+3y+1=0$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$

$$y_1=\frac{-3-1}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-3+1}{4}=-\frac12$$

1) $$\sin x=-1$$, значит

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sin x=-\frac12$$, значит

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\cos 6x-\cos 3x-2=0$$

$$\cos^2 3x-\sin^2 3x-\cos 3x-2=0$$

$$\cos^2 3x-(1-\cos^2 3x)-\cos 3x-2=0$$

$$2\cos^2 3x-\cos 3x-3=0$$

Пусть $$y=\cos 3x$$, тогда

$$2y^2-y-3=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25$$

$$y_1=\frac{1-5}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{1+5}{4}=\frac32$$

Значение $$\frac32$$ не подходит, так как $$\cos 3x\in[-1;1]$$.

Остаётся

$$\cos 3x=-1$$

$$3x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$26\sin x\cos x-\cos 4x+7=0$$

$$13\sin 2x-(\cos^2 2x-\sin^2 2x)+7=0$$

$$13\sin 2x-(1-2\sin^2 2x)+7=0$$

$$2\sin^2 2x+13\sin 2x+6=0$$

Пусть $$y=\sin 2x$$, тогда

$$2y^2+13y+6=0$$

$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 6=121$$

$$y_1=\frac{-13-11}{4}=-6,\qquad y_2=\frac{-13+11}{4}=-\frac12$$

Значение $$-6$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1]$$.

Остаётся

$$\sin 2x=-\frac12$$

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\sin^4 x+\cos^4 x=\sin x\cos x$$

$$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=\sin x\cos x$$

$$1-2\sin^2 x\cos^2 x=\sin x\cos x$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, получаем

$$1-\frac12\sin^2 2x=\frac12\sin 2x$$

$$\sin^2 2x+\sin 2x-2=0$$

Пусть $$y=\sin 2x$$, тогда

$$y^2+y-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$y_1=-2,\qquad y_2=1$$

Значение $$-2$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1]$$.

Остаётся

$$\sin 2x=1$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;

б) $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$;

в) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$;

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.