Упр.27.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что $$\cos 2x=\frac{5}{13}$$. Вычислите: а) $$\sin^4 x+\cos^4 x$$; б) $$\sin^8 x-\cos^8 x$$.

Из условия $$\cos 2x=\frac{5}{13}.$$ Тогда

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\frac{5}{13}}{2}=\frac{4}{13},$$

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+\frac{5}{13}}{2}=\frac{9}{13}.$$

Решение

а)

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\cdot\frac{4}{13}\cdot\frac{9}{13}=1-\frac{72}{169}=\frac{97}{169}.$$

б)

$$\sin^8 x-\cos^8 x=(\sin^4 x-\cos^4 x)(\sin^4 x+\cos^4 x).$$

Кроме того,

$$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x=-\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\sin^8 x-\cos^8 x=-\frac{5}{13}\cdot\frac{97}{169}=-\frac{485}{2197}.$$

Ответ

а) $$\frac{97}{169}$$; б) $$-\frac{485}{2197}$$.