Упр.27.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Известно, что $$\sin 2\alpha=\frac{1}{3}$$. Вычислите $$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha$$.
   б) Известно, что $$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\frac{49}{50}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$. Вычислите $$\sin 2\alpha$$.

а) Пусть $$\sin 2a=\frac13.$$ Тогда

$$2\sin a\cos a=\frac13,$$

откуда

$$\sin a\cos a=\frac16.$$

Теперь найдём

$$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

$$\sin^4 a+\cos^4 a=1-2(\sin a\cos a)^2=1-2\left(\frac16\right)^2=1-\frac{2}{36}=1-\frac1{18}=\frac{17}{18}.$$

б) Пусть $$\sin^4 a+\cos^4 a=\frac{49}{50}, \qquad \frac{\pi}{2}

Используем формулу

$$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Тогда

$$1-2\sin^2 a\cos^2 a=\frac{49}{50},$$

$$2\sin^2 a\cos^2 a=\frac{1}{50},$$

$$\sin^2 a\cos^2 a=\frac{1}{100},$$

$$|\sin a\cos a|=\frac{1}{10}.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}

$$\sin a\cos a=-\frac{1}{10}.$$

Следовательно,

$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)=-\frac15.$$

Ответ: а) $$\frac{17}{18}$$; б) $$-\frac15$$.