Упр.27.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что $$\sin 2x=-\frac{3}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}
2. Известно, что $$\operatorname{tg} 2x=\frac{3}{4}$$, $$\pi

а) $$\sin 2x=-\frac35,\quad \frac{\pi}{2}<x<\pi.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<x<\pi,$$ то угол $$x$$ лежит во II четверти, значит $$\cos x<0,\ \sin x>0.$$

Найдём $$\cos 2x$$:

$$\cos 2x=\pm\sqrt{1-\sin^2 2x}=\pm\sqrt{1-\left(-\frac35\right)^2}=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac45.$$

Рассмотрим оба случая.

Если $$\cos 2x=\frac45,$$ то

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{9}{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}},$$

$$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\frac{9}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}},$$

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1/\sqrt{10}}{-3/\sqrt{10}}=-\frac13,\qquad \ctg x=-3.$$

Если $$\cos 2x=-\frac45,$$ то

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}},$$

$$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}},$$

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/\sqrt{10}}{-1/\sqrt{10}}=-3,\qquad \ctg x=-\frac13.$$

б) $$\tg 2x=\frac34,\quad \pi<x<\frac{5\pi}{4}.$$

Так как $$\pi<x<\frac{5\pi}{4},$$ то угол $$x$$ лежит в III четверти, значит $$\sin x<0,\ \cos x<0.$$

Поскольку $$\tg 2x>0$$ и $$\pi<2x<\frac{5\pi}{2},$$ то угол $$2x$$ лежит в I четверти, следовательно $$\cos 2x>0.$$ Тогда

$$\cos 2x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 2x}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}}=\frac45.$$

Теперь найдём $$\cos x$$ и $$\sin x$$:

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{9}{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}},$$

$$\sin x=-\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

Тогда

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-1/\sqrt{10}}{-3/\sqrt{10}}=\frac13,\qquad \ctg x=3.$$

Ответ: а) $$\cos x=-\frac{3}{\sqrt{10}},\ \sin x=\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg x=-\frac13,\ \ctg x=-3$$ или $$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}},\ \tg x=-3,\ \ctg x=-\frac13.$$ б) $$\cos x=-\frac{3}{\sqrt{10}},\ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg x=\frac13,\ \ctg x=3.$$