Упр.27.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Известно, что $$\cos t=\frac{3}{4}$$, $$0<t<\frac{\pi}{2}$$. Вычислите: $$\cos\frac{t}{2}$$, $$\sin\frac{t}{2}$$, $$\tg\frac{t}{2}$$, $$\ctg\frac{t}{2}$$.

б) Известно, что $$\ctg t=\frac{3}{4}$$, $$\pi<t<\frac{3\pi}{2}$$. Вычислите: $$\cos\frac{t}{2}$$, $$\sin\frac{t}{2}$$, $$\tg\frac{t}{2}$$, $$\ctg\frac{t}{2}$$.

а) Так как $$\cos t=\frac34$$ и $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\frac{t}{2}$$ лежит в первой четверти, значит, все значения положительны.

Используем формулы половинного угла:

$$\cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac34}{2}} =\sqrt{\frac{7}{8}} =\frac{\sqrt{14}}{4},$$
$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac34}{2}} =\sqrt{\frac{1}{8}} =\frac{\sqrt2}{4}.$$

Тогда

$$\tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} =\frac{\frac{\sqrt2}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} =\frac{\sqrt2}{\sqrt{14}} =\frac{1}{\sqrt7} =\frac{\sqrt7}{7},$$
$$\ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=\sqrt7.$$

б) Известно, что $$\ctg t=\frac34$$ и $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ значит, угол $$t$$ лежит в третьей четверти, поэтому $$\sin t<0$$ и $$\cos t<0.$$

Найдём $$\sin t$$ и $$\cos t$$:

$$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac34,$$
откуда
$$\cos t=\frac34\sin t.$$
Тогда
$$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$
$$\sin^2 t+\left(\frac34\sin t\right)^2=1,$$
$$\sin^2 t+\frac{9}{16}\sin^2 t=1,$$
$$\frac{25}{16}\sin^2 t=1, \qquad \sin^2 t=\frac{16}{25}.$$
Так как $$t$$ в третьей четверти, то
$$\sin t=-\frac45,\qquad \cos t=-\frac35.$$

Теперь найдём значения половинного угла. Поскольку $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac{t}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ то есть $$\frac{t}{2}$$ во второй четверти. Значит, $$\sin \frac{t}{2}>0,$$ $$\cos \frac{t}{2}<0.$$

$$\cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{5}} =-\frac{\sqrt5}{5},$$
$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} =\sqrt{\frac{4}{5}} =\frac{2\sqrt5}{5}.$$

$$\tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} =\frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}} =-2,$$
$$\ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=-\frac12.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt{14}}{4},\ \frac{\sqrt2}{4},\ \frac{\sqrt7}{7},\ \sqrt7.$$ б) $$-\frac{\sqrt5}{5},\ \frac{2\sqrt5}{5},\ -2,\ -\frac12.$$