Упр.27.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\cos\frac{\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}$$; б) $$\cos\frac{\pi}{65}\cos\frac{2\pi}{65}\cos\frac{4\pi}{65}\cos\frac{8\pi}{65}\cos\frac{16\pi}{65}\cos\frac{32\pi}{65}$$.

а) Используем формулу

$$2\sin x\cos x=\sin 2x.$$

Тогда

$$\cos\frac{\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33} = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{33}} \cdot \left(2\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33}\right) \cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}$$

$$= \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{33}} \cdot \sin\frac{2\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}$$

Продолжая аналогично, получаем

$$= \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \sin\frac{32\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}$$

Так как $$\sin\frac{32\pi}{33}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{33}\right)=\sin\frac{\pi}{33},$$ а $$\cos\frac{16\pi}{33}=\sin\frac{\pi}{66}$$ не требуется отдельно, то удобнее записать через последний шаг:

$$\frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}}\cdot \sin\frac{32\pi}{33} = \frac{1}{32}.$$

б) Аналогично:

$$\cos\frac{\pi}{65}\cos\frac{2\pi}{65}\cos\frac{4\pi}{65}\cos\frac{8\pi}{65}\cos\frac{16\pi}{65}\cos\frac{32\pi}{65}$$

после последовательного применения формулы $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$ получаем

$$\frac{1}{64\sin\frac{\pi}{65}}\sin\frac{64\pi}{65} = \frac{1}{64}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{32}$$; б) $$\frac{1}{64}$$.