Упр.27.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Упростите выражение $$\sqrt{1-\cos 2t}+\sqrt{1+\cos 2t}$$, если:
а) $$t\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$;
б) $$t\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$;
в) $$t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$;
г) $$t\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$.

Используем формулы:

$$1-\cos 2t=2\sin^2 t,\qquad 1+\cos 2t=2\cos^2 t.$$

Тогда

$$\sqrt{1-\cos 2t}+\sqrt{1+\cos 2t}=\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|.$$

1. Если $$t\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right],$$ то $$\sin t\ge 0,\ \cos t\le 0.$$ Поэтому

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t.$$

   Представим в виде одной тригонометрической функции:

   $$\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

2. Если $$t\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right],$$ то $$\sin t\le 0,\ \cos t\ge 0.$$ Тогда

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=-\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t.$$

   Следовательно,

   $$-\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$

3. Если $$t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\sin t\ge 0,\ \cos t\ge 0.$$ Значит,

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t.$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

4. Если $$t\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right],$$ то $$\sin t\le 0,\ \cos t\le 0.$$ Поэтому

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=-\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t.$$

   Следовательно,

   $$-\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t=-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ:

а) $$2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right);$$ б) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right);$$ в) $$2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right);$$ г) $$-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$