Упр.27.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- $$\cos^2 3t=\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}$$
- $$\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=\tan^2\frac{t}{2}$$
- $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+2t\right)=\frac{1-\sin 4t}{2}$$
- $$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tan\frac{t}{2}$$
а) $$\cos^2 3t=\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}.$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}=\frac{1+\cos 6t}{2}=\frac{1+\cos(2\cdot 3t)}{2}=\cos^2 3t.$$
Тождество доказано.
б) $$\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=\tg^2\frac{t}{2}.$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{1-\cos t}{1+\cos t} = \frac{\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} {\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}+\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}} = \tg^2\frac{t}{2}.$$
Тождество доказано.
в) $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+2t\right)=\frac{1-\sin 4t}{2}.$$
Преобразуем левую часть:
$$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+2t\right) = \frac{1-\cos\left(2\cdot\frac{3\pi}{4}+2\cdot 2t\right)}{2} = \frac{1-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+4t\right)}{2} = \frac{1-\sin 4t}{2}.$$
Тождество доказано.
г) $$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tg\frac{t}{2}.$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{1-\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} {2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \tg\frac{t}{2}.$$
Тождество доказано.
