Упр.26.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2\operatorname{tg}^2 2x+3\operatorname{tg}(\pi+2x)=0$$; б) $$\operatorname{tg}^2 3x-6\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0$$

а) Используем формулу $$\tg(\pi+2x)=\tg 2x.$$ Тогда

$$2\tg^2 2x+3\tg(\pi+2x)=0,$$

$$2\tg^2 2x+3\tg 2x=0,$$

$$\tg 2x\,(2\tg 2x+3)=0.$$

Отсюда:

$$\tg 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\tg 2x+3=0.$$

1) $$\tg 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$2\tg 2x+3=0 \Rightarrow \tg 2x=-\frac{3}{2},$$

$$2x=-\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac12\arctg\frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2}.$$

б) Используем формулу $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\tg 3x.$$ Тогда

$$\tg^2 3x-6\ctg\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0,$$

$$\tg^2 3x-6\tg 3x=0,$$

$$\tg 3x\,(\tg 3x-6)=0.$$

Отсюда:

$$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=6.$$

1) $$\tg 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$\tg 3x=6 \Rightarrow 3x=\arctg 6+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac13\arctg 6+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=-\frac12\arctg\frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{3},\; x=\frac13\arctg 6+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$