Упр.25.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{tg}(a+b)-(\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b)=\operatorname{tg}(a+b)\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b$$;
   б) $$\operatorname{tg}(a-b)-(\operatorname{tg}a-\operatorname{tg}b)=\operatorname{tg}(b-a)\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b$$.

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу тангенса суммы:

$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\cdot \tg \beta}.$$

Тогда

$$\begin{aligned} \tg(a+\beta)-(\tg a+\tg \beta) &=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\cdot \tg \beta}-(\tg a+\tg \beta)\\ &=\frac{\tg a+\tg \beta-(\tg a+\tg \beta)(1-\tg a\cdot \tg \beta)}{1-\tg a\cdot \tg \beta}\\ &=\frac{(\tg a+\tg \beta)\tg a\cdot \tg \beta}{1-\tg a\cdot \tg \beta}\\ &=\tg(a+\beta)\cdot \tg a\cdot \tg \beta. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$\tg(a+\beta)-(\tg a+\tg \beta)=\tg(a+\beta)\cdot \tg a\cdot \tg \beta.$$

Аналогично, используя формулу

$$\tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\cdot \tg \beta},$$

получаем:

$$\begin{aligned} \tg(a-\beta)-(\tg a-\tg \beta) &=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\cdot \tg \beta}-(\tg a-\tg \beta)\\ &=\frac{\tg a-\tg \beta-(\tg a-\tg \beta)(1+\tg a\cdot \tg \beta)}{1+\tg a\cdot \tg \beta}\\ &=\frac{(\tg \beta-\tg a)\tg a\cdot \tg \beta}{1+\tg a\cdot \tg \beta}\\ &=\tg(\beta-a)\cdot \tg a\cdot \tg \beta. \end{aligned}$$

Тождество доказано.