Упр.25.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Вычислите:
а) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\operatorname{arctg}\frac{2}{7}\right)$$;
б) $$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}-\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$;
в) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}+\operatorname{arctg}\frac{1}{3}\right)$$;
г) $$\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{4}{5}+\operatorname{arcctg}\frac{3}{4}\right)$$.

Подробный ответ

а) Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+\arctg\frac{2}{7}\right)= \frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg\left(\arctg\frac{2}{7}\right)}{1-\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg\left(\arctg\frac{2}{7}\right)} = \frac{1+\frac{2}{7}}{1-1\cdot\frac{2}{7}} = \frac{\frac{9}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{9}{5}.$$

б) Обозначим $$t=\arccos\left(-\frac{3}{5}\right).$$ Тогда $$\cos t=-\frac{3}{5}.$$ Так как $$t\in[0;\pi],$$ то $$\sin t>0,$$ значит

$$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}, \qquad \tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}.$$

Теперь

$$\tg\left(\frac{3\pi}{4}-t\right)= \frac{\tg\frac{3\pi}{4}-\tg t}{1+\tg\frac{3\pi}{4}\cdot\tg t} = \frac{-1-(-\frac{4}{3})}{1+(-1)\cdot(-\frac{4}{3})} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{1}{7}.$$

в) Пусть $$t=\arctg\frac{1}{3}.$$ Тогда $$\tg t=\frac{1}{3}.$$ Используем формулу:

$$\tg\left(\frac{\pi}{3}+t\right)= \frac{\tg\frac{\pi}{3}+\tg t}{1-\tg\frac{\pi}{3}\cdot\tg t} = \frac{\sqrt{3}+\frac{1}{3}}{1-\sqrt{3}\cdot\frac{1}{3}}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$3(3+\sqrt{3})$$:

$$\tg\left(\frac{\pi}{3}+t\right) = \frac{3\sqrt{3}+1}{3-\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{3}+1)(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{10+6\sqrt{3}}{6} = \frac{5+3\sqrt{3}}{3}.$$

г) Обозначим $$a=\arcsin\frac{4}{5},\quad b=\arcctg\frac{3}{4}.$$ Тогда

$$\sin a=\frac{4}{5},\qquad \cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}, \qquad \tg a=\frac{4}{3}.$$

Для угла $$b$$ имеем $$\ctg b=\frac{3}{4},$$ значит

$$\tg b=\frac{1}{\ctg b}=\frac{4}{3}.$$

Тогда

$$\tg(a+b)= \frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot\tg b} = \frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{24}{7}.$$