Упр.25.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-a\right)$$, если $$\operatorname{tg}a=\frac{2}{3}$$;

б) $$\operatorname{tg}\left(a+\frac{\pi}{3}\right)$$, если $$\operatorname{tg}a=\frac{4}{5}$$.

Подробный ответ

Используем формулы сложения и вычитания для тангенса:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta},\qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

а)

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg a}{1+\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg a}.$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1$$ и $$\tg a=\frac{2}{3},$$ получаем

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{1-\frac{2}{3}}{1+1\cdot\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{5}.$$

б)

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}}.$$

Так как $$\tg a=\frac{4}{5}$$ и $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ то

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\frac{4}{5}+\sqrt{3}}{1-\frac{4}{5}\sqrt{3}}=\frac{\frac{4+5\sqrt{3}}{5}}{\frac{5-4\sqrt{3}}{5}}=\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}}\cdot\frac{5+4\sqrt{3}}{5+4\sqrt{3}}=\frac{(4+5\sqrt{3})(5+4\sqrt{3})}{25-48}.$$

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{20+16\sqrt{3}+25\sqrt{3}+60}{-23}=-\frac{80+41\sqrt{3}}{23}.$$