Упр.24.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\cos(\alpha-\beta)-\cos\alpha\cos\beta$$;
   б) $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$$;
   в) $$\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)$$;
   г) $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$$.

Используем формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:

$$\cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta,$$
$$\sin(a+\beta)=\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta,$$
$$\sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta,$$
$$\cos(a+\beta)=\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta.$$

1. $$\cos(a-\beta)-\cos a\cos \beta=$$
   $$=(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta)-\cos a\cos \beta=\sin a\sin \beta.$$

2. $$\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)=$$
   $$=(\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta)+(\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta)=2\sin a\cos \beta.$$

3. $$\sin a\cos \beta-\sin(a-\beta)=$$
   $$=\sin a\cos \beta-(\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta)=\cos a\sin \beta.$$

4. $$\cos(a-\beta)-\cos(a+\beta)=$$
   $$=(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta)-(\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta)=2\sin a\sin \beta.$$

Ответ: а) $$\sin a\sin \beta$$; б) $$2\sin a\cos \beta$$; в) $$\cos a\sin \beta$$; г) $$2\sin a\sin \beta$$.