Упр.24.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac{1}{2}\cos\alpha$$
   б) $$\sqrt{3}\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$$
   в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)$$
   г) $$\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha$$

а) $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)-\frac12\cos a$$

Используем формулу разности:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)=\sin\frac{5\pi}{6}\cos a-\cos\frac{5\pi}{6}\sin a$$

$$=\frac12\cos a-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\sin a=\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)-\frac12\cos a=\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$

б) $$\sqrt3\cos a-2\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)$$

$$\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{6}+\sin a\sin\frac{\pi}{6}$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a$$

Тогда

$$\sqrt3\cos a-2\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\cos a-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a\right)=-\sin a$$

в) $$\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)$$

$$\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos a\cos\frac{5\pi}{3}+\sin a\sin\frac{5\pi}{3}$$

$$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$

Тогда

$$\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\frac12\cos a$$

г) $$\sqrt2\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)-\sin a$$

$$\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\sin a\cos\frac{\pi}{4}-\cos a\sin\frac{\pi}{4}$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\sin a-\frac{\sqrt2}{2}\cos a$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)-\sin a=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin a-\frac{\sqrt2}{2}\cos a\right)-\sin a=\sin a-\cos a-\sin a=-\cos a$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$; б) $$-\sin a$$; в) $$\frac12\cos a$$; г) $$-\cos a$$.