Упр.24.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\arccos\frac{3}{5}\right)$$; б) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}+\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$; в) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{3}{5}\right)$$; г) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{5}{13}\right)$$.

Используем формулы сложения тригонометрических функций.

1. $$\sin\frac{11x}{5}\cos\frac{x+10\pi}{5}-\cos\frac{11x}{5}\sin\frac{x}{5}$$

   Так как $$\cos\frac{x+10\pi}{5}=\cos\left(\frac{x}{5}+2\pi\right)=\cos\frac{x}{5},$$ то

   $$\sin\frac{11x}{5}\cos\frac{x}{5}-\cos\frac{11x}{5}\sin\frac{x}{5}=\sin\left(\frac{11x}{5}-\frac{x}{5}\right)=\sin 2x.$$

2. $$\cos\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\sin\left(x+\frac{9\pi}{4}\right)$$

   Так как $$\sin\left(x+\frac{9\pi}{4}\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$ получаем

   $$\cos\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$=\cos\left(\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Ответ: $$\sin 2x;\ \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$