Упр.24.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сравните числа $$a=\cos x\cos 2x$$ и $$b=\cos 3x$$, если: а) $$0

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x\cos 2x=\frac12\bigl(\cos(x-2x)+\cos(x+2x)\bigr)=\frac12(\cos x+\cos 3x).$$

Тогда

$$a=\cos x\cos 2x=\frac12(\cos x+\cos 3x), \qquad b=\cos 3x.$$

Сравним числа $$a$$ и $$b$$:

$$a-b=\frac12(\cos x+\cos 3x)-\cos 3x=\frac12(\cos x-\cos 3x).$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 3x=-2\sin 2x\sin(-x)=2\sin 2x\sin x.$$

Значит,

$$a-b=\sin 2x\sin x.$$

Теперь рассмотрим случаи.

1. Если $$0<x<\frac{\pi}{2}$$, то $$\sin x>0$$ и $$\sin 2x>0$$, следовательно,

   $$a-b>0,$$

   то есть $$a>b$$.

2. Если $$\frac{\pi}{2}<x<\pi$$, то $$\sin x>0$$, а $$\sin 2x<0$$, следовательно,

   $$a-b<0,$$

   то есть $$a<b$$.

Ответ: а) $$a>b$$; б) $$a<b$$.