Упр.24.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите знак числа $$a$$:
   а) $$a=(\cos 1+\cos 2)^2+(\sin 1-\sin 2)^2-2$$;
   б) $$a=(\sin 3+\cos 4)^2+(\cos 3+\sin 4)^2-1$$.

а) Раскроем скобки и воспользуемся формулой $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$:

$$\begin{aligned} a&=(\cos 1+\cos 2)^2+(\sin 1-\sin 2)^2-2\\ &=\cos^2 1+2\cos 1\cos 2+\cos^2 2+\sin^2 1-2\sin 1\sin 2+\sin^2 2-2\\ &=(\cos^2 1+\sin^2 1)+(\cos^2 2+\sin^2 2)+2(\cos 1\cos 2-\sin 1\sin 2)-2\\ &=1+1+2\cos(1+2)-2\\ &=2\cos 3. \end{aligned}$$

Так как $$3\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$ то $$\cos 3<0.$$ Следовательно, $$a<0.$$

б) Аналогично:

$$\begin{aligned} a&=(\sin 3+\cos 4)^2+(\cos 3+\sin 4)^2-1\\ &=\sin^2 3+2\sin 3\cos 4+\cos^2 4+\cos^2 3+2\cos 3\sin 4+\sin^2 4-1\\ &=(\sin^2 3+\cos^2 3)+(\sin^2 4+\cos^2 4)+2(\sin 3\cos 4+\cos 3\sin 4)-1\\ &=1+1+2\sin(3+4)-1\\ &=1+2\sin 7. \end{aligned}$$

Так как $$7\in\left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right),$$ то $$\sin 7>0.$$ Значит, $$a>0.$$

Ответ

а) $$a<0$$; б) $$a>0$$.