Упр.24.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите:

• а) $$\sin 15^\circ$$; в) $$\sin 15^\circ \cos 15^\circ$$; б) $$\cos 15^\circ$$; г) $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ$$.

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

1. $$\sin 15^\circ=\sin(60^\circ-45^\circ)=\sin60^\circ\cos45^\circ-\cos60^\circ\sin45^\circ$$

   $$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

2. $$\cos 15^\circ=\cos(60^\circ-45^\circ)=\cos60^\circ\cos45^\circ+\sin60^\circ\sin45^\circ$$

   $$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.$$

3. $$\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$$

   $$=\frac{(\sqrt6-\sqrt2)(\sqrt2+\sqrt6)}{16}=\frac{6-2}{16}=\frac14.$$

4. $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ$$

   $$=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$; б) $$\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$$; в) $$\frac14$$; г) $$\frac{\sqrt3}{2}$$.