Упр.24.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Зная, что $$\sin t=\frac{3}{5}$$, $$0<t<\frac{\pi}{2}$$, вычислите:
а) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+t\right)$$;
б) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)$$;
в) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)$$;
г) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+t\right)$$.

Используем формулы сложения тригонометрических функций и значение $$\sin t=\frac{3}{5}$$, $$0<t<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда

$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos t+\cos\frac{\pi}{3}\sin t.$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}.$$

б)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t=-\frac{3}{5}.$$

в)

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos t=\frac{4}{5}.$$

г)

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos t-\sin\frac{\pi}{3}\sin t.$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}.$$

Ответ

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\frac{4\sqrt{3}+3}{10},\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\frac{3}{5},\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\frac{4}{5},\quad \cos\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}.$$